Jumlah Tak Hingga Dari Deret Geometri 18 12 8 Adalah

Jumlah Tak Hingga Dari Deret Geometri 18 12 8 Adalah

Weblog Koma


Deret Geometri Tak Hingga

adalah deret yang penjumlahannya sampai suku ke tak hingga. Jumlah deretnya mengikuti deret geometri. Silahkan baca artikel “Barisan dan deret Geometri”. Sebelumnya juga kita telah membahas tentang barisan dan deret aritmetika, bagi yang ingin mempelajarinya silahkan baca artikel “Barisan dan Deret Aritmetika”. Berikut penjelasan tentang deret geometri tak hingga.

Rumus jumlah tak hingga deret geometri

Misalkan ada deret $ u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + …. \, $ yang dijumlahkan sampai tak hingga yang disimbolkan dengan $ s_\infty $. Hasil jumlah tak hingganya ($s_\infty$) tergantng dari nilai rasionya ($r$).

a). Jika $ r > one , \, $ maka hasil penjumlahannya : $ s_\infty = + \infty $

b). Jika $ -1 < r < one , \, $ maka hasil penjumlahannya : $ s_\infty = \frac{a}{1-r} $

c). Jika $ r < -1 , \, $ maka hasil penjumlahannya : $ s_\infty = – \infty $

Secara umum nilai jumlah tak hingga deret geometri dengan rasio $ -ane < r < 1 \, $ adalah        $ s_\infty = \frac{\text{suku pertama}}{1 – \text{ rasio}} $

Pada penjumlahan deret geometri tak hingga, ada dua istilah yaitu :

one). Konvergen (deret konvergen) syaratnya $ -1 < r < one , \, $ artinya jumlah sampai tak hingganya memberikan hasil angka tertentu (hasilnya bukan $ +\infty \, $ atau $ – \infty $)
2). Divergen (deret divergen) syaratnya $ r < -1 \, $ atau $ r > 1 , \, $ artinya jumlah sampai tak hingganya memberikan hasil $ +\infty \, $ atau $ – \infty $

Contoh :

1). Tentukan hasil penjumlahan dari deret geometri tak hingga berikut :

a). $ 2 + 4 + eight + 16 + ….. $

b). $ ii + ane + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ….. $

c). $ 3 + (-six) + 12 + (-24) + ….. $

Penyelesaian :

a). Rasio deretnya : $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{four}{2} = two $

Karena nilai rasionya = ii ($r>1$), maka deret ini termasuk divergen dan hasilnya $ + \infty $

Jadi, nilai $ two + 4 + 8 + 16 + ….. = \infty $

b). Rasio deretnya : $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{1}{two} $

Karena nilai rasionya = $ \frac{one}{two} $ ($-1 < r < 1$), maka deret ini termasuk konvergen

Hasilnya : $ s_\infty = \frac{a}{ane-r} = \frac{2}{one-\frac{1}{two}} = \frac{ii}{\frac{1}{2}} = 4 $

Jadi, nilai $ 2 + one + \frac{one}{2} + \frac{1}{4} + ….. = four $

c). Rasio deretnya : $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{-vi}{3} = -2 $

Karena nilai rasionya = -2 ($r < – i$), maka deret ini termasuk divergen dan hasilnya $ – \infty $

Jadi, nilai $ 3 + (-half-dozen) + 12 + (-24) + ….. = – \infty $

2). Diketahui jumlah tak hingga suatu deret geometri adalah half-dozen dan suku pertamanya 2, tentukan nilai rasionya?

Penyelesaian :

Diketahui : $ a = 2, \, $ dan $ s_\infty = 6 $

*). Menentukan nilai rasionya ($r$)

$ \brainstorm{align} s_\infty & = half-dozen \\ \frac{a}{1-r} & = 6 \\ \frac{2}{1-r} & = 6 \\ 1 – r & = \frac{2}{half-dozen} \\ 1-r & = \frac{1}{3} \\ r & = 1 – \frac{1}{3} \\ r & = \frac{two}{3} \end{align} $

Jadi, nilai rasionya adalah $ r = \frac{2}{three} $

Baca :   Gambar Interaksi Sosial Individu Dengan Kelompok

three). Jika suku pertama deret geometri tak hingga adalah $ a \, $ dan jumlahnya 4, maka nilai $ a \, $ yang memenuhi adalah … ?

Penyelesaian :

*). Karena jumlah takhingganya adalah four ($s_\infty = 4$) , artinya hasilnya bukan $ + \infty \, $ atau $ – \infty \, $ , maka deret ini termasuk deret konvergen dengan syarat $ -i < r < 1 $

*). Menentukan hubungan suku pertama ($ a $) dan $ r \, $ dari jumlah tak hingganya.

$ \begin{align} s_\infty & = 4 \\ \frac{a}{1-r} & = 4 \\ 1-r & = \frac{a}{4} \\ r & = 1 – \frac{a}{4} \end{marshal} $

*). Substitusikan bentuk $ r = one – \frac{a}{4} \, $ ke syarat konvergen :

$ \begin{align} -one < & r < 1 \\ -1 < 1 – & \frac{a}{4} < 1 \, \, \, \, \text{(jumlahkan -1)} \\ -i + (-ane) < 1 – & \frac{a}{4} + (-1) < one +(-1) \\ -2 < – & \frac{a}{four} < 0 \, \, \, \, \text{(kalikan -four, tanda dibalik)} \\ -2 \times (-4) < – & \frac{a}{4} \times (-4) < 0 \times (-4) \\ viii > & a > 0 \\ 0 < & a < viii \end{align} $

Catatan : jika pertidaksamaan dikalikan negatif, maka tanda ketaksamaan harus dibalik.

Jadi, agar deretnya konvergen, nilai $ a \, $ yang memenuhi adalah $ 0 < a < 8 $

Deret geometri takhingga suku-suku genap dan suku-suku ganjil

Misalkan ada deret geomeri tak hingga $ u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5 …. \, $

Deret tersebut bisa dibagi menjadi dua bagian yaitu suku-suku bernomor genap dan ganjil

$ \begin{align} s_\infty & = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5 + u_6 …. \\ s_\infty & = (u_1 + u_3 + u_5+… ) + (u_2 + u_4 + u_6 ….) \\ s_\infty & = s_{\infty \text{ ganjil}} + s_{\infty \text{ genap}} \cease{align} $

Artinya jumlah takhingga merupakan penjumlahan jumlah takhingga nomor ganjil dengan jumlah takhingga nomor genap.

Rumus takhingga nomor ganjil dan nomor genap.

$ \brainstorm{align} s_{\infty \text{ ganjil}} & = u_1 + u_3 + u_5+… \\ & = a + ar^two + ar^3 +… \\ & \left( \text{rasio} = \frac{ar^2}{a} = r^2 \right) \\ & \left( \text{suku pertama} = a \right) \\ & = \frac{\text{suku pertama}}{1 – \text{ rasio}} \\ s_{\infty \text{ ganjil}} & = \frac{a}{ane – r^2} \end{align} $

Sehingga rumus jumlah takhingga nomor ganjil : $ s_{\infty \text{ ganjil}} = \frac{a}{ane – r^2} $

$ \begin{align} s_{\infty \text{ genap}} & = u_2 + u_4 + u_6+… \\ & = ar + ar^3 + ar^five +… \\ & \text{rasio} = \frac{ar^3}{ar} = r^ii \\ & \text{suku pertama} = ar \\ & = \frac{\text{suku pertama}}{1 – \text{ rasio}} \\ s_{\infty \text{ genap}} & = \frac{ar}{1 – r^2} \finish{marshal} $

Sehingga rumus jumlah takhingga nomor genap : $ s_{\infty \text{ genap}} = \frac{ar}{1 – r^2} $

Menentukan rasio dari jumlah takhingga nomor ganjil dan genap.

$ \begin{align} \frac{s_{\infty \text{ genap}}}{s_{\infty \text{ ganjil}}} & = \frac{\frac{ar}{1 – r^two}}{\frac{a}{1 – r^ii}} \\ & = \frac{\frac{ar}{ane – r^2}}{\frac{a}{1 – r^2}} \\ & = \frac{ar}{1 – r^2} . \frac{ane-r^2}{a} \\ & = \frac{ar(1-r^2)}{a(1 – r^2)} \\ \frac{s_{\infty \text{ genap}}}{s_{\infty \text{ ganjil}}} & = r \end{marshal} $

Artinya untuk menentukan rasionya, cukup gunakan $ r = \frac{s_{\infty \text{ genap}}}{s_{\infty \text{ ganjil}}} $

Baca :   Kunci Jawaban Tema 8 Kelas 3 Halaman 183

Contoh :

Jika jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah half dozen, sedangkan jumlah suku-sukunya yang bernomor genap adalah two, maka tentukan suku pertama deret tersebut ?

Penyelesaian :

Diketahui : $ s_\infty = half-dozen \, $ dan $ s_{\infty \text{ genap}} = 2 $

*). Menentukan nilai jumlah suku bernomor ganjil ($s_{\infty \text{ ganjil}}$) dan $ r $

$ \begin{align} s_\infty & = s_{\infty \text{ ganjil}} + s_{\infty \text{ genap}} \\ six & = s_{\infty \text{ ganjil}} + 2 \\ s_{\infty \text{ ganjil}} & = 6 – 2 = 4 \\ r & = \frac{s_{\infty \text{ genap}}}{s_{\infty \text{ ganjil}}} \\ r & = \frac{ii}{four} = \frac{1}{2} \terminate{marshal} $

*). Menentukan nilai suku pertama ($a$)

untuk menentukan nilai $ a \, $ bisa menggunakan $ s_\infty \, $ atau $ s_{\infty \text{ ganjil}} \, $ atau $ s_{\infty \text{ genap}} $

$ \begin{align} s_\infty & = 6 \\ \frac{a}{1-r} & = 6 \\ a & = 6(ane-r) \\ a & = vi(1-\frac{i}{two}) \\ a & = 6(\frac{1}{ii}) \\ a & = 3 \end{marshal} $

Jadi, nilai suku pertamanya adalah $ a = 3 $

Penerapan jumlah takhingga deret geometri pada benda yang dijatuhkan/dilempar

Kejadian pelemparan benda yang dimaksud biasanya bola yang dijatuhkan atau bola dilempar ke atas. Berikut penjelasan dua kasus yang dimaksud :

Bola dilempar ke atas

Misalkan bola dilempar ke atas, terbentuklah lintasan yang dilalui oleh bola tersebut seperti gambar berikut :

keterangan :

$ a = \, $ ketianggian awal yang dicapai oleh bola

$ r = \, $ rasio ketinggian setelah terjadi pantulan dari ketinggian sebelumnya.

Dari lintasan yang dilalui oleh bola, ada bagian yang naik dan ada bagian yang turun. Masing-masing bagian naik total panjang lintasannya adalah $ s_\infty \, $ dan bagian yang turun juga panjang lintasannya $ s_\infty $. Sehingga total panjang lintasan (PL) yang dilalui oleh bola adalah :

$ \begin{align} \text{full panjang lintasan} & = \text{Lintasan naik } + \text{ lintasan turun} \\ PL & = s_\infty + s_\infty \\ PL & = 2s\infty \\ PL & = 2\left( \frac{a}{1-r} \right) \\ PL & = \frac{2a}{1-r} \end{align} $

Bola dijatuhkan dari ketinggian awal $ a $

Lintasan yang terbentuk ketika bola dijatuhkan hampir sama dengan lintasan yang terbentuk ketika bola dilempar ke atas. Hanya saja satu lintasan awal (lintasan naik awal) tidak dihitung karena bola langsung dijatukan. Berikut gambar lintasannya :

Dari gambar bola dijatuhkan, terlihat bahwa lintasannya sama dengan bola dilempar ke atas, hanya saja satu lintasan naik ($a$) tidak dihitung. Sehingga total panjang lintasannya adalah :

$ PL = 2s_\infty – a $

$ PL = 2\left( \frac{a}{ane-r} \right) – a $

Baca :   Sayuran Yang Dapat Dijadikan Bumbu Lalap Dan Buah Segar Adalah

Panjang Lintasan setelah pantulan ke-$k$

Untuk kasus panjang lintasan setelah pantulan ke-$thousand \, $ baik bola dijatuhkan atau dilempar ke atas hasilnya akan selalu sama.

Dari gambar terlihat bahwa setelah pantulan ke-ane maka suku pertamanya adalah suku ke-ii ($u_2$), setelah pantulan ke-2 maka suku pertamanya adalah suku ke-3 ($u_3$), setelah pantulan ke-iii maka suku pertamanya adalah suku ke-4 ($u_4$), dan seterusnya sampai setelah pantulan ke-$k\,$ maka suku pertamanya adalah suku ke-$k+1\,$ ($u_{one thousand+one}$)

Dapat disusun rumus panjang lintasannya dengan $ u_n = ar^{n-1} $ :

Panjang lintasan setelah pantulan ke-one :
$ PL = 2s_\infty = 2. \frac{\text{suku pertama}}{one – \text{ rasio}} = ii. \frac{u_2}{1 – r} = 2. \frac{ar}{one – r} $

Panjang lintasan setelah pantulan ke-2 :
$ PL = 2s_\infty = two. \frac{\text{suku pertama}}{1 – \text{ rasio}} = 2. \frac{u_3}{one – r} = two. \frac{ar^2}{i – r} $

Panjang lintasan setelah pantulan ke-3 :
$ PL = 2s_\infty = 2. \frac{\text{suku pertama}}{one – \text{ rasio}} = 2. \frac{u_4}{1 – r} = ii. \frac{ar^3}{1 – r} $

dan seterusnya …..

Panjang lintasan setelah pantulan ke-$chiliad$ :
$ PL = 2s_\infty = two. \frac{\text{suku pertama}}{1 – \text{ rasio}} = 2. \frac{u_{yard+1}}{1 – r} = ii. \frac{ar^k}{i – r} $

Jadi dapat diperumum, panjang lintasan bila bola dijatuhkan atau dilempar ke atas setelah pantulan ke-$k \, $ adalah

$ PL = 2 \times \frac{ar^thousand}{1 – r} $

Contoh :

i). Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 4 m dan memantul kembali menjadi $ \frac{2}{three} \, $ tinggi sebelumnya. Tentukan panjang lintasan bola tersebut sampai berhenti?

Penyelesaian:

Diketahui : $ a = 4 \, $ dan $ r = \frac{2}{3} $

Panjang lintasannya :

$ \begin{marshal} PL & = 2s_\infty – a \\ & = 2\left( \frac{a}{1-r} \right) – a \\ & = ii\left( \frac{4}{1-\frac{2}{3}} \right) – four \\ & = two\left( \frac{iv}{\frac{1}{3}} \correct) – 4 \\ & = 2\left( 4 . 3 \correct) – 4 \\ & = 2\left( 12 \right) – iv \\ & = 24 – 4 = 20 \stop{align} $

Jadi, panjang lintasan sampai berhenti adalah xx m.

ii). Sebuah bola dilempar ke atas sehingga mencapai ketinggian 5 m dan memantul kembali menjadi $ \frac{iv}{5} \, $ tinggi sebelumnya. Tentukan panjang lintasan setelah pantulan ke-iii samapi berhenti?
Penyelesaian :

Diketahui : $ a = 5 \, $ dan $ r = \frac{four}{v} $

Panjang lintasan setelah pantulan ke-3 ($one thousand = three$)

$ \brainstorm{marshal} PL & = 2 \times \frac{ar^k}{one – r} \\ & = ii \times \frac{5\left( \frac{4}{v} \right)^3}{1 – \frac{iv}{5} } \\ & = 2 \times \frac{5\left( \frac{64}{125} \correct)}{ \frac{1}{5} } \\ & = ii \times v \times \frac{64}{125} \times \frac{five}{1} \\ & = \frac{128}{5} \end{align} $

Jadi, panjang lintasan setelah pantulan ke-3 sampai berhenti adalah $ \frac{128}{5} \, $ m.

Jumlah Tak Hingga Dari Deret Geometri 18 12 8 Adalah

Source: https://www.konsep-matematika.com/2015/09/deret-geometri-tak-hingga.html

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *